2.1 Introduzione al concetto di modello.
2.2 Costruzione di modelli formali.
1- Definire con precisione l'obiettivo dello studio.
Problema 1: eventuali corse di treni da sopprimere in una linea
Problema 2: sparare con una pistola contro un bersaglio.
2- Definire i confini dello studio.
3- Definire le variabili di ingresso e quelle di uscita.
4- Definire il campo di variazione delle variabili e ..
2.3 Classificazione dei modelli.
Esempio : sparare contro un bersaglio.
Esempio : evoluzione di una specie animale.
Esercizi riepilogativi.
Un modello è una rappresentazione della realtà: precisiamo subito che non intendiamo una rappresentazione perfetta e accurata, forse impossibile da ottenere. Intendiamo piuttosto uno strumento flessibile che in qualche modo forza una persona a pensare seriamente al problema che deve essere modellato. Infatti costruire un modello molto accurato della realtà senza aver diminuito la complessità del problema che si deve studiare è inutile: non trarremo alcun vantaggio da un tale modello.
Fortunatamente è possibile costruire dei modelli che, pur essendo molto più semplici della realtà che rappresentano, ci consentono di studiarne il comportamento con grande precisione. La ragione è che nonostante per analizzare o prevedere un fenomeno con assoluta precisione sia necessario tenere in considerazione un gran numero di variabili, normalmente esso può essere spiegato in gran parte con un ristretto numero di variabili: evidentemente il segreto sta nel determinare quali sono le variabili fondamentali e quale relazione lega le une alle altre.
Per precisare il concetto di modello è necessario mettere in risalto che per trasferire la conoscenza di un problema tra persone è necessario non solo sapere risolvere un problema ma anche saper descrivere il modo in cui si è giunti alla soluzione. Il metodo usato per determinare la soluzione, le ipotesi di lavoro e i risultati hanno la stessa importanza: supponiamo di essere di fronte al seguente problema: i numeri primi sono finiti o infiniti? Se di fronte ad un tale problema chiedessimo spiegazione e ci venisse risposto che sono infiniti, ma di fronte ad una domanda sul perchè non ottenessimo risposta, non potremmo fare affidamento su tale risposta, a meno di un atto di fede.
Per modello intendiamo quindi una rappresentazione della realtà che espliciti in modo rigoroso tutti i fattori che si ritiene fondamentali e le relazioni che li legano.
Vediamo di definire i passi necessari per la costruzione di un modello.
Il primo passo che bisogna compiere per studiare un problema è quello di definirlo in modo preciso: questo si può fare solo fissando in modo operativo l'obiettivo dello studio.
Affinchè un obiettivo sia operativo è necessario che sia misurabile.
Esempio.
Problema 1: eventuali corse di treni da sopprimere in una linea ferroviaria.
Obiettivo 1: determinare i percorsi non produttivi.
Obiettivo 2: determinare nel sistema di trasporti locali quali percorsi ferroviari non produttivi siano sopprimibili senza produrre "inconvenienti".
Dello stesso problema sono stati dati due obiettivi diversi: il secondo obiettivo è una estensione del primo. Così come sono definiti nel problema precedente gli obiettivi non sono ancora operativi: lo diventano non appena noi precisiamo un metodo per misurarli.
Per esempio la produttività è misurabile come differenza tra i ricavi e i costi di un percorso.
Problema 2: sparare con una pistola contro un bersaglio.
Obiettivo 1: determinare la velocità con cui il proiettile esce dalla canna della pistola.
Obiettivo 2: determinare la traiettoria del proiettile.
Obiettivo 3: determinare gli effetti del proiettile sul bersaglio.
In questo caso gli obiettivi sono molto diversi tra loro: il primo definisce come oggetto dello studio i fenomeni che permettono la partenza del proiettile, il secondo studia la triettoria del proiettile mentre il terzo gli effetti del proiettile sul bersaglio.
2- Definire i confini dello studio.
L'obiettivo è fondamentale per stabilire ciò che "sta dentro, di cui teniamo conto" e ciò che "sta fuori, che riteniamo trascurabile".
Ad esempio nel -Obiettivo 2 Problema 2- si può decidere di tenere, o non tenere, conto della resistenza dell'aria e della accelerazione di gravità.
Supponiamo di definire trascurabili entrambi i fenomeni: il proiettile ha una velocità iniziale, una direzione, e nessuna forza agisce su di esso. Questo è uno schema che nella maggioranza dei casi non fornisce informazioni utili.
3- Definire le variabili di ingresso e quelle di uscita.
Definiti l'obiettivo e i confini del nostro studio restano da definire le grandezze in ingresso (i valori iniziali noti) e quelle in uscita (valori che descrivono l'obiettivo).
Questo significa che tutti gli elementi che sono ritenuti importanti devono essere misurabili.
Il metodo con cui si misura un fenomeno, la precisione della misura sono problemi che in molti casi richiedono essi stessi una analisi profonda: da questi può dipendere l'intero studio.
Diamo un approccio al problema da un punto di vista fisico: la misura è una tecnica mediante la quale ad una proprietà fisica associamo un numero, che è il risultato di un confronto con una grandezza simile, grandezza campione, che è stata scelta come unità. Nel misurare le grandezze, il fisico deve porre grande attenzione a produrre la minore perturbazione possibile sul sistema che sta osservando. Per esempio, il contatto tra un corpo e un termometro dà origine ad una piccola variazione della temperatura del corpo (calore scambiato tra corpo e termometro), cioè ad una alterazione di ciò che si vuole misurare. (Questo problema è rilevante quando si misurano delle proprietà atomiche, come ad esempio il moto di un elettrone).
Per di più, tutte le misure sono affette , in maggiore o minore entità, dall'errore sperimentale dovuto alle inevitabili imperfezioni degli strumenti di misura. (errore di approssimazione)
Quanto detto per la fisica è facilmente estendibile: questo comporta che dobbiamo essere abituati al concetto di errore.
Nel -Problema 1- si può definire come metodo per misurare l'obiettivo il calcolo del rapporto tra costi e benefici. Questo implica "misurare i benefici" e "misurare i costi". In effetti i due obiettivi differiscono solo dal metodo che viene usato per calcolare queste due misure.
Esempio. Elementi che determinano i costi:
Obiettivo 1: costi di gestione.
Obiettivo 2: costi di gestione, aumento delle automobili in circolazione dovuto al fatto che chi prima si serviva del treno ora non può più farlo, con aumento di traffico, aumento degli incidenti e aumento dell'inquinamento.
4- Definire il campo di variazione delle variabili e la legge che lega gli ingressi alle uscite.
Intendiamo con legge ingresso/uscita una relazione che lega le variabili in ingresso con quelle in uscita.
Supponiamo ad esempio di essere giunti al punto di avere definto
A e B variabili in ingresso
X variabile in uscita
e
X + A*X = B
la legge ingresso/uscita.
A questo punto abbiamo descritto la legge, non i passi necessari per calcolare X. Se A,B,X sono numeri reali dobbiamo definire i passi necessari per giungere al risultato:
X= B / (A+1)
Nel caso A, B, X numeri interi i passaggi possono essere diversi (non è detto che il rapporto di due numeri interi sia un intero)
Inoltre la legge ha valore solo per prefissati campi di variazione delle variabili: nascono ulteriori problemi se si accetta il valore -1 come possibile valore di A.
Sussiste un altro problema: siano
A variabile in ingresso
X variabile in uscita
e
X - A*X = 1
la legge ingresso/uscita.
Per A=0.9999 otteniamo X= 10000.
Supponiamo ora che per un errore di misura al posto di 0.9999 si abbia in ingresso 1.0001 (errore di approssimazione = 0.0002)
Per A=1.0001 otteniamo X= -10000.
Per una "piccola" variazione del valore in ingresso i valori in uscita sono cambiati in modo radicale: l'errore iniziale di approssimazione si è propagato in modo disastroso.
Un fattore importante che dobbiamo tenere presente nella definizione della legge e della precisione con cui si misurano le variabili in ingresso è proprio questo: fare in modo che gli errori di approsimazione sicuramente presenti nella misura delle variabili in ingresso influenzino il meno possibile il valore delle variabili in uscita.
I passi descritti servono a costruire un modello, cioè una riduzione del problema in uno schema che lo spieghi. E` ovvio che per ogni problema è possibile costruire modelli diversi. Riassumendo, i passi necessari alla costruzione di un modello sono:
a) definizione rigorosa dell'obiettivo
b) definizione dei confini del modello
c) definizione delle variabili in ingresso e di quelle in uscita
d) definizione degli intervalli di variazione delle variabili definite
e) definizione della legge che lega le variabili in ingresso a quelle in uscita
Nella costruzione del modello i punti descritti non sono necessariamente sequenziali. Per esempio nella definizione dei confini del sistema ci si può accorgere che l'obiettivo posto è troppo ristretto e quindi scarsamente utile; nella precisazione della misura di una variabile ci si può accorgere che diventa fondamentale una quantità che nella definizione dei confini del modello avevamo ritenuto trascurabile. In ognuno di questi casi si torna indietro e si modifica la parte precedente.
Costruito il modello di un problema reale si analizzano i valori in uscita che esso fornisce: se i risultati non forniscono informazioni utili, o forniscono informazioni contraddittorie, bisogna ripetere il lavoro svolto cercando di individuarne la ragione.
2.3 Classificazione dei modelli.
Possiamo in generale classificare i modelli in tre tipi:
1- modelli icastici: sono ricostruzioni in scala del sistema studiato.
2- modelli analogici: sono modelli basati sulla costruzione di un sistema fisico considerato equivalente a quello da studiare.
3- modelli logico-matematici: sono modelli basati sulla riproduzione di un sistema tramite la sua rappresentazione con relazioni matematiche.
Quanto abbiamo detto nel capitolo precedente e quanto diremo in seguito riguarda i modelli logico-matematici.
I modelli logico-matematici si dividono in:
1-modelli deterministici: la legge matematica che li descrive è determinata in modo che non appaia in alcun modo qualche elemento di causalità.
2- modelli stocastici o probabilistici: la legge matematica che li descrive è basata sulla statistica e il calcolo delle probabilità.
Generalmente i modelli stocastici rappresentano meglio la realtà rispetto ai loro equivalenti deterministici, sia pure al prezzo di una maggiore complessità.
Esempio 1. Costruire un modello per il seguente problema: sparare un proiettile contro un bersaglio.
Obiettivo: determinare la traiettoria del proiettile.
Per determinare i confini dello studio dobbiamo prima dare una risposta ad alcune domande:
supponiamo la terra piatta o rotonda ?
teniamo conto della variazione della gravità al variare dell'altezza a cui si viene trovare il proiettile ?
si può trascurare la resistenza dell'aria ?
Queste domande sorgono in quanto l'obiettivo non è ancora sufficientemente preciso: in effetti il modo in cui è stato enunciato comprende
1- proiettile sparato con un pistola ad un bersaglio distante 20 m
2- proiettile sparato con un cannone ad un bersaglio distante 30 Km
3- missile balistico lanciato contro un bersaglio distante 10000 Km
E` chiaro ad esempio che se il punto 1 può essere spiegato senza tenere conto che la terra è rotonda, questo è impossibile per il punto 3, se vogliamo un modello attendibile.
Eseguiremo lo studio sotto le seguenti ipotesi:
Teniamo conto quindi:
Poichè G è costante, precisiamo il campo di variazione di A e V0.
Per rendere accettabile il fatto che trascuriamo la resistenza dell'aria possiamo imporre che la velocità del proiettile sia subsonica e quindi:
0 < V0 < 300 m/sec
Per A poniamo
0 <= A < 90 gradi
Descrivere la traiettoria vuol dire definire una legge che data una distanza X, un angolo A e la velocità V0 ci dica a che altezza Y si trova il proiettile tenendo conto di G.
Abbiamo quindi tre variabili in ingresso (X, A, V0) ed una variabile in uscita (Y).
Ricordando che
spazio= velocità * tempo + (1/2) * accelerazione * tempo^2
Otteniamo
velocita su asse x = V0 * cos(A)
accelerazione su asse x = 0
velocità su asse y = V0 * sen(A)
accelerazione su asse y = -G
Da cui:
X= V0 * cos(A) * t
Y= V0 * sen(A) * t - (1/2) * G * t^2
Eliminando t si ottiene la legge che lega Y a X,A,V0 :
Y = - (G / (2 * V0^2 * cos^2(A))) X^2 + tan(A) * X
con un campo di variazione di X compreso: 0 <= X <= 5000 m
Esempio 2: costruire un modello per il seguente problema: evoluzione di una specie animale
Obiettivo: determinare l'evoluzione del numero di animali presenti su un territorio.
Le domande a cui bisogna rispondere per costruire il modello sono:
Eseguiremo lo studio sotto le seguenti ipotesi:
Teniamo quindi conto di:
Con
0< N0 ; 0<NT
0<= A <=1 ; 0<= B <=1
Abbiamo determinato un modello con variabili in ingresso (N0, A, B, NT) e in uscita (Y).
Tenendo presente che:
si ottiene
N(t+1)= N(t) + A * N(t) - B * N(t) = (1 + A - B) N(t)
e quindi (in modo non semplice)
Y= N0 * (1 + A - B)^NT
che è la legge che noti (N0, A, B, NT) fornisce Y.
Nota: il modello nella ipotesi di risorse limitate è molto simile:
num. animali morti in una unità di tempo = (B / N0) * N(t) * N(t)
si ottiene:
N(t+1)= (1 + A - (B / N0) * N(t)) * N(t)
Per N0=10 A=0.2 B=0.05 otterremo:
|
tempo |
risorse illimitate |
risorse limitate |
|
1 |
11.5 |
11.5 |
|
2 |
13.22 |
13.138 |
|
3 |
15.208 |
14.903 |
|
4 |
17.49 |
16.773 |
|
5 |
20.113 |
18.721 |
|
30 |
662.11 |
39.795 |
|
31 |
761.43 |
39.835 |
La prima successione tende a crescere all'infinito, la seconda tende a 40.
Questo mostra come la variazione di una sola ipotesi di studio (la modifica dei confini del modello) può generare risultati molto diversi tra loro.
Nel modello descritto non abbiamo precisato il metodo per calcolare il valore di A e B. Così come sono stati definiti sono da intendersi come valori medi e cioè:
A=0.2 significa che mediamente il numero di animali aumenta del 20%
definire con precisione i seguenti problemi:
1- attraversare un fiume in barca
2- alberare un viale
3- asfaltare una piazza
4- recintare un terreno
5- risalire un fiume in barca
6- numero di casse da mettere in un supermercato
7- percorrere una salita in bicicletta
8- percorsi di autobus da sopprimere
9- studenti da promuovere
10- lanciare una pietra
11- numero di autobus da mettere su una linea
12- alberare un terreno
13- asfaltare le vie principali di ingresso in una città
14- risolvere una equazione di secondo grado
15- velocità di una automobile in un punto di un percorso