La sezione aurea

Nella terza delle definizioni (termini) del libro VI degli Elementi, Euclide dice che un segmento è diviso in media ed estrema ragione, quando l'intero segmento ha alla sua parte maggiore lo stesso rapporto che questa parte maggiore ha alla minore; e l'effettiva costruzione del punto di divisione è data alla proposizione 30 del medesimo libro. Se a è la lunghezza del segmento considerato e si denota con x quella della parte maggiore, il problema si traduce nella proposizione:

a : x = x : (a - x),

cioè nell'equazione di 2° grado

a(a - x) = x²;

onde risulta che lo stesso problema si può formulare nei termini seguenti: dividere un segmento in due parti tali che il rettangolo dell'intero segmento e di una delle sue parti sia equivalente (cioè abbia estensione uguale) al quadrato dell'altra parte. Sotto questa forma il problema è risolto negli Elementi di Euclide nella proposizione 11 del libro II. La lunghezza della parte maggiore nella divisione in media ed estrema ragione del segmento di lunghezza a è data dalla radice positiva dell'equazione di 2° grado sopra indicata, cioè da

;

e questo segmento in molti trattati elementari moderni si designa col nome di sezione aurea del segmento a. La sezione aurea del segmento a è il lato del decagono regolare di raggio a; ed è anche il raggio del pentagono regolare di lato a.