Angoli
La figura seguente illustra concretamente la nozione ellittica di angolo. Si tratta di una figura interattiva: potete trascinare col mouse le circonferenze, cioè le rette ellittiche, o il punto A. Potete quindi variare l'angolo formato dalle rette. Nella tabella a destra della figura leggete la misura Angle(b; a; A) dell'angolo orientato formato dalle rette b e a (inizialmente è la misura dell'angolo acuto). Fate i vostri esperimenti.
Gli angoli della geometria ellittica vengono misurati esattamente nello stesso modo degli angoli della geometria sferica. In geometria sferica sappiamo che la misura dell'angolo formato da due circonferenze massime è definita come la misura dell'angolo diedro formato dai due piani che contengono le due circonferenze (piani che necessariamente si intersecano lungo un diametro della sfera).
Le figure seguenti ci consentono di capire meglio la natura della rappresentazione della sfera sul piano euclideo mediante la proiezione gnomonica (o proiezione centrale) di cui abbiamo già parlato. Tale rappresentazione produce una distorsione degli angoli e quindi non ne conserva la misura (al contrario di quanto avviene, invece, per la proiezione stereografica). La proiezione gnomonica, però, conserva le geodetiche cioè, come si è già detto, trasforma circonferenze massime in rette. Le figure mostrano, nell'ordine:
Il piano ellittico, con due rette passanti per il punto A (potete ruotare le rette attorno al punto A o muovere il punto A).
La vista euclidea del piano ellittico (via la proiezione gnomonica); anche qui potete ruotare le rette attorno al punto A o muovere il punto A. Il punto A, inizialmente, si trova nell'origine del piano cartesiano.
La tabella che mostra il valore dell'angolo ellittico formato dalle due rette.
La proiezione gnomonica. Per capire come avviene la proiezione tenete presente che la sfera che rappresenta il piano ellittico è tangente nel suo polo sud al piano cartesiano euclideo (piano p). L'origine del piano cartesiano coincide col polo sud della sfera. Inoltre il punto di vista per la rappresentazione del piano ellittico (prima figura delle seguenti) è dall'alto; cioè la sfera viene rappresentata come la si vedrebbe dall'alto con l'occhio al di sopra del polo nord e in linea con i due poli. In tal modo i punti della circonferenza limite azzurra non sono proiettati in alcun punto euclideo (perchè le rette che passano per tali punti e per il centro della sfera sono parallele al piano p); i punti della circonferenza limite azzurra, lo abbiamo detto, rappresentano i punti all'infinito del piano euclideo. Il punto ellittico A della prima figura seguente è inizialmente disposto come la coppia di punti nord-sud sulla sfera (non dimenticate che la vista è dall'alto).
Osservate che nella situazione iniziale le due rette sono perpendicolari, cioè formano angoli di 90°, sia nel piano ellittico che nel piano euclideo. Si tratta però di una situazione particolarissima perchè le due circonferenze massime passano per il polo nord della sfera. Se però allontanate il punto A dalla posizione iniziale, agendo nel piano ellittico o nel piano euclideo, vi renderete conto della distorsione degli angoli. Potrete ad esempio avere rette perpendicolari nel piano euclideo e non perpendicolari nel piano ellittico (o viceversa). Fate i vostri esperimenti. Non dimenticate che la misura angolare riportata nella tabella non è quella euclidea ma quella ellittica.
Osservate infine che le coordinate del punto A e le equazioni delle rette che trovate nella tabella sono coordinate ed equazioni euclidee, riferite al piano cartesiano euclideo, come potete facilmente verificare.