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Somma degli angoli di un triangolo

Nella figure seguenti vedete un triangolo ellittico ABC e la tabella che mostra l'ampiezza dei suoi angoli. Potete trascinare col mouse i vertici del triangolo, in modo da ottenere tutti i triangoli possibili. I lati di un triangolo ellittico sono naturalmente segmenti ellittici cioè archi di circonferenze massime (archi geodetici).

La somma degli angoli di un triangolo ellittico è sempre maggiore di 180°, come potete facilmente verificare. Inoltre, al contrario di quanto accade in geometria euclidea, tale somma non ha un valore costante ma varia al variare dell'area del triangolo. Le proprietà dei triangoli ellittici sono le stesse dei triangoli sferici. Fate quindi riferimento all'ipertesto La geometria sulla sfera dove trovate la dimostrazione della formula che esprime la somma s degli angoli di un triangolo sferico in funzione della sua area. La stessa formula è valida per il piano ellittico: se si assume una sfera unitaria si ha

s=a+b+g=A+p

dove a, b, g sono le misure in radianti degli angoli e A è l'area del triangolo.

E' importante osservare che per valori dell'area piccoli (rispetto a p) la formula fornisce valori "quasi" euclidei per la somma degli angoli. Provate allora a costruire un triangolo molto piccolo; potrete verificare che la somma degli angoli, pur rimanendo maggiore di 180°, si discosterà di poco da 180°. La questione è di grande rilievo teorico: la geometria in una regione sufficientemente piccola del piano ellittico è sostanzialmente indistinguibile da quella euclidea. Detto in altre parole: la geometria euclidea può considerarsi come un caso limite della geometria ellittica.