XXXV CONGRESSO NAZIONALE A.I.F.
1996
G.Imbalzano - Dalla meccanica classica alla fisica moderna.
~~~ ABSTRACT. I tried to reduce
the theory of this work of synthesis which got inspiration from a not drawn
subject of the 1990 competitive examination for mathematicians and physicist
schools inspectors. It is not recommended to stick just to this interpretation
to get to a direct one. It is helpful a second thought of this kind on
both classical and modern mechanics. From Galilei to Fermat ant through
Newton, Lagrange or Hamilton, it is needful to get to physicist like Ehrenfest,
Dirac and Breit (until now nearly unknown to common high schools) in order
to understand the conceptual upsetting of the modern approach to science.
And now may the problem on the nature of the mysterious quark be introduced,
without reducing physics to a mere philosophical account?
~~~ RIASSUNTO. Un tema di concorso ad ispettore
del 1990 (non sorteggiato) per la classe di Matematica e Fisica ispira
questo lavoro di sintesi, in cui ho cercato di alleggerire la teoria. Nonostante
che non sia consigliabile limitarsi solo a questa "lettura" per
una esegesi diretta, si ritiene utile un ripensamento di questo tipo sulla
meccanica classica e moderna. Partendo da Galilei e Fermat, attraverso
Newton ed ancora Lagrange o Hamilton, sembra opportuno pervenire a fisici
come Ehrenfest, Dirac e Breit (a tutt'oggi misconosciuti in normali corsi
liceali) per comprendere appieno il capovolgimento concettuale del moderno
approccio alla scienza. E come introdurre il problema sulla natura dei
fantomatici quarks, senza per• ridurre la Fisica a un puro racconto filosofico?
~~~ MECCANICA CLASSICA. I tre principi
fondamentali della meccanica vettoriale di Galilei e Newton sono riassunti
dalle equazioni del moto durante il tempo (t): dpi/dt = Fi + Ri { i = 1..n
} ove il vettore p rappresenta la quantit… di moto p= mùv = mùdq/dt
(prodotto tra la massa m e la velocit… v della i-esima particella). Se
nel secondo membro dell'equazione dpi/dt = Fi + Ri la forza attiva Fi e
la forza di reazione Ri sono nulle, si ottiene il 1ø principio (d'inerzia)
se Š nullo il primo membro si ha il 3ø principio (d'azione e reazione).
Il principio di Galilei consiste semplicemente nell'equazione dp/dt= F,
valida allorch‚ si considera una particella singola, in assenza di forze
di reazione R. Analogamente, per il momento angolare L= r^p risulta: dL/dt
= M ove M rappresenta il momento della quantit… di moto. Generalizzando,
possiamo scrivere:
dpj/dt= Fj {j = 1..3n} dove le quantit… p sono quindi da intendere
quali momenti coniugati, cioŠ relativi alle coordinate generalizzate q
ed inglobando in F le forze compatibili con i vincoli. Tale descrizione
della meccanica pu• risultare complicata e poco maneggevole fino a quando
non si trovino le grandezze invarianti rispetto al sistema di coordinate,
quale l'energia del sistema di particelle. Il metodo della meccanica analitica
(che risale a Leibniz, Euler, Lagrange ed Hamilton) risolve invece il problema
partendo dagli invarianti possibili onde pervenire ai sistemi di coordinate
pi— adatti alla descrizione del moto. In un sistema conservativo Š Fùdq+dV=
0 sicch‚ F= -dV/dq ed inoltre: p= ëT/ëq`, come si ricava dall'espressione
dell'energia:
T = m(dq/dt)ý/2 = pùq`/2.
Le equazioni del moto possono allora cosŤ esprimersi: (ëT/ ëq`)`
= -ëV/ëq ovvero, ponendo L=T-V e ricordando che ëV/ëq`=
ëT/ëq= 0, come (ëL/ëq`)` + ëL/ëq = 0 . L'espressione
L Š la cosiddetta funzione lagrangiana, mentre l'energia totale
H= T+V si chiama hamiltoniana. Per questa
valgono le equazioni canoniche: q`= dH/dp, p`= -dH/dq, dH/dt= -dL/dt
e nella formulazione hamiltoniana si preferisce determinare H= H(q,p,t)
anzich‚
L= L(q,q`,t). Ancora, si dimostra che l'integrale:
` ` ô
L = ³ Lùdt
` ` õ
Š minimo rispetto ad una variazione delle (q;q`)
se e solo se sono soddisfatte le equazioni del moto stesse. Analogamente,
rispetto alle variabili (q;p) per una variazione di H:
` ` ô
ëH =³ëHùdt = 0.
` ` õ
~~~ PRINCIPIO DI FERMAT.
L'integrale
` ` ô ` ` ` `ô
W = ³pùq`dt =³Wdt
` ` õ ` ` ` `õ
si definisce quale azione del moto o funzione
caratteristica di Hamilton; poich‚ L = W - H , per una variazione delle
variabili (q;t) in cui l'energia (H = E) risulta invariante, abbiamo il
principio di minima azione: dW= 0 , e L(q,t) = W-Et = costante. Tale importante
principio appare come la generalizzazione del principio dell'ottica geometrica
di Fermat:
ô` ` `ô
³ës= ë³nùdt = 0
õ` ` `õ
dove la quantit… v = c/n ó c rappresenta
la velocit… della luce relativa. Basti pensare che nella funzione d'onda
f(Kq-êt), ove ê/K= v , per un valore di K all'incirca costante
la "fase dell'onda"
` ` ` ` `ô
è= Kq-êt=³Kq'ùdt-êt
Š costante.
` ` ` ` `õ
Introducendo la costante di Planck h_ = h/(2ã),
per cui
p= dW/dq= h_úK, E= h_úê,
l'equazione d'onda
ëýf/ëqý + (êùn/c)ýùf
= 0 pu• riscriversi in forma quantistica:
ëýf/ëqý = -(p/h_)ýùf (Schr”dinger
1926).
~~~ BOHR (1913, 1927). La meccanica quantistica
fu introdotta per risolvere il problema dei livelli energetici del "corpo
nero" (Planck 1900) dell'effetto fotoelettrico (Einstein 1905) e dell'atomo.
Bohr tent] il primo approccio a questo problema, i cui livelli fondamentali
dipendono dagli interi n secondo la formula:
E= -Zm(àc/n)ý/2. Qui e= 1.6ùE-19
Coulomb,
m'= m'M/(m'+M)= 0.5ùE+6 eV/cý
sono rispettivamente la carica elementare e la massa ridotta relativa al
baricentro dell'elettrone di massa m' ed al nucleo atomico di massa M,
Z il numero atomico, î la costante dielettrica nel vuoto ed à=
eý/(4ãîhc) Š la cosiddetta costante di struttura fine.
Nella versione pi— avanzata, Bohr sfruttava le relazioni p= h/l, E= hź
(DeBroglie 1925), che assegnano anche ai corpuscoli (di elevata energia)
il comportamento di un'onda di lunghezza l e frequenza ź. Egli associava
altresŤ le equazioni della forza centrifuga F= -mq`ý/r e dell'energia
(negativa) dell'elettrone in un campo elettrico centrale:
E= mq`ý/2-Zeý/(4ãîr)=
-Zeý/(8ãîr). Era cosŤ possibile pervenire anche al
valore della velocit… dell'elettrone: v= cùZà/n per le orbite
circolari di raggio r= hný/(Zàmc). Tuttavia, solo la teoria
di Sommerfeld permise di spiegare le caratteristiche delle orbite ellittiche
compatibilmente con le equazioni relativistiche: (æc)ý= (E/c)ý-pý,
avendo posto æ= m û[1-áý] quale massa a riposo,
con á= v/c= pc/E (Einstein 1905). Ma occorre riprendere i metodi
della meccanica analitica, soprattutto al fine di spiegarci nei sistemi
fisici la comparsa di determinate grandezze intere (quantizzazione).
~~~ EHRENFEST (1914). Se in un sistema fisico
introduciamo una perturbazione, normalmente si produce una variazione delle
grandezze osservabili che lo descrivono. Tuttavia, possono esistere delle
grandezze destinate a restare costanti in seguito a piccole perturbazioni,
oppure variabili in seguito ad una leggera perturbazione solo secondo numeri
interi: tali grandezze si chiamano invarianti adiabatici. Un esempio viene
fornito dall'integrale chiuso d'azione
` ` ô ` ` ` ` ô
W = O PùdQ= J O dí= 2ãnùJ
` ` õ ` ` ` ` õ
per il momento angolare P= J coniugato con la
coordinata angolare Q= í, od in particolare in presenza di moti
periodici puri. In tal caso, possiamo addirittura considerare la media
costante W/(2ã) quale momento coniugato, cosicch‚ la coordinata
canonica relativa Š rappresentata da
w= (ëE/ëp)ùt+cost.. ricordando che Š costante rispetto
al tempo anche la derivata w`= ëH/ëp. La perturbazione Š relativa
ad un certo parametro l, che potrebbe essere la lunghezza del filo di un
pendolo. Tenendo conto della gravit… e della forza centrifuga
` ôl+ël
V=³ [mgùcos í + mlùí`ý]ù(-dl)
` õl
Š il lavoro compiuto per un lento accorciamento
del filo, ove g rappresenta l'accelerazione di gravit… e í l'angolo
formato dal filo rispetto alla verticale (l'esempio Š di Ehrenfest). Poich‚
per piccole oscillazioni Š cos(í)= 1-2ùsiný(í/2)
÷ 1-fý/2, il lavoro che incrementa l'energia del moto pendolare,
prescindendo quindi dal lavoro di innalzamento, risulta nelle medie su
íý, í'ý:
` ` ` ` ` ` ôl+ël ` ` ` ` ` ` ` ` `
`__ ` ` ___
ëV= V+mgùël=³ [mgíý/2-mlí`ý]ùdl=
(mgùíý/2-mlí`ý)ùël,
` ` ` ` ` ` õl
appunto considerando la variazione dl molto lenta
rispetto a dí. D'altra parte, per piccole oscillazioni l'energia
stessa del moto pendolare Š eguale a:
` ` ______ ` ` ` `__ ` ` ` __ ` ` ___
V= m(lí)`ý/2 + mglíý/2=
mglíý= mglùí`ý, ricordando che nel moto
armonico l'energia si distribuisce in parti eguali fra i due addendi. Combinando
con la precedente: ëV/V= -ël/(2l)= ëê/ê; ricorrendo
alla legge di Torricelli
{êý = g/l, risulta pertanto V/ê= costante= J=
nh se si postula che J rappresenta un invariante adiabatico; cosŤ si ottengono
i livelli energetici di Planck: V= nhê= nhź dell'energia (V)
in funzione della frequenza ź dell'oscillatore armonico. L'estensione della
regola di quantizzazione
` ` ô
Wi= O piùdqi= niùhź ` a pi— variabili
Š possibile solo se esse
` ` õ
risultano separabili nelle equazioni del sistema
fisico. Un esempio Š rappresentato dai due possibili modi di vibrazione
ortogonali per un sistema bidimensionale, che descrivono durante il moto
tipiche curve (di Lissajous): in particolare, la curva corrispondente risulta
un'orbita chiusa se le due frequenze sono commensurabili, un'ellisse nel
caso di degenerazione in un'unico valore (fx= fy).
~~~ SOMMERFELD (1916). Usando l'espressione
della forza centripeta per l'elettrone immerso nel campo elettrico di un
nucleo di carica Ze, a distanza r: F= -(J/r)ý/(mr)= -Zeý/(4ãîrý)
si ottiene (considerando il momento angolare totale J una costante) l'energia
potenziale
` ` `ô
V = -³Fùdr = Jý/(2mrý).
` ` `õ
L'energia totale H diminuita dell'energia di massa
(a riposo) æcý, risulta perci•:
(m-æ)cý= H-æcý=
Jý/(2mrý)-Zeý/(4ãîr)= -Zeý/(4ãîr)/2
< 0. Ancora, siccome Zeý/(4ãîr)= Jý/(mrý)=
Jùp/(mr)= Jùpcý/(Hr), si ottiene una velocit… che
pu• considerarsi quella dell'elettrone:
v= pcý/H= Zàhc/J= cùZà/(nr+nl'),
avendo usato la regola di quantizzazione
J= Jr+Jl'= (nr + nl')ùh . Possiamo immaginare che il momento
Jr rappresenti l'oscillazione radiale dell'elettrone che orbita ellitticamente
intorno al nucleo (in generale, r non Š costante), Jl quella angolare.
Nell'interpretazione di Sommerfeld, J rappresenta un moto a rosetta dell'ellisse
dovuto alla variazione relativistica della massa. Vedremo che nl' Š soggetto
ad una correzione relativistica dipendente dalla stessa velocit… dell'impulso
pl, perpendicolare a pr, ma a questo punto seguiremo al meglio possibile
le formule di Dirac. L'energia totale
H= æcý-pý/(2æ)
rappresenta solo l'approssimazione di una relazione quadratica (H/c)ý=
(æc)ý-pý che, per quanto strano, risulta compatibile
con l'equazione relativistica a cui soddisf… l'energia meccanica E, in
assenza di campo esterno: (E/c)ý = (æc)ý+(mv)ý.
La spiegazione pi— convincente di tale sconcertante relazione verr… solo
dalla successiva interpretazione di Dirac: nelle equazioni della meccanica
quantistica, come (H/c)ý=(æc)ý+(ip)ý, sono ammesse
anche componenti immaginarie, per quanto siano misurabili solo le corrispondenti
grandezze reali, come ³p³. Da quanto sopra si ottiene (æc)ý-(H/c)ý=
pý= (H/c)ýù(Zà)ý/(nr+nl')ý, quindi
H= æcýù[1+Zýàý/(nr+nl')ý]-1/2.
Occorre infine assoggettare nl' alla correzione relativistica dovuta alla
"velocit… tangenziale" v:
nl'= nlù[1-(v/c)ý]-1/2= nlù[1-(Zà/nl)ý]-1/2=
[nl-(Zà)ý]^-1/2. Tenuto conto che nl Š da considerare intero
e non nl', ci• elimina nella formula la classica degenerazione degli autovalori
interi nell'unico (nr+nl'). Osserviamo infine come i "quadrati"
quantistici dei momenti J= jh in realt… darebbero il valore osservabile
J= j(j+1)h poich‚ nelle equazioni corrispondono infatti ad elementi di
matrice e non a quantit… semplicemente vettoriali. Tuttavia, nelle formule
lineari a cui si riducono le grandezze puramente energetiche dei fermioni
(particelle di momento angolare proprio S= h/2) pu• dimostrarsi la
validit… dell'approssimazione usata. Tale circostanza, per cui al numero
quantico angolare j occorre sommare un valore semintero s= ñ1/2
(lo spin), pone in evidenza le difficolt… della teoria semiclassica di
Sommerfeld.
~~~ DIRAC (1925-28). La teoria di Sommerfeld,
a parte i valori non seminteri dei momenti angolari a cui occorre sommare
un valore di spin
J= h/2 permanente per l'elettrone, non spiega ancora l'effetto Zeeman
anomalo. Per il momento angolare J=lh nell'interpretazione di Sommerfeld
Š 0<lón ma pi— rigorosamente si ottiene 0ól<n
ed occorre associare all'elettrone un momento magnetico eguale a Mùma
con ³m³ ó l dove M=eh/(2æ) Š il magnetone di Bohr.
Ci• d… luogo al normale effetto Zeeman, per cui la degenerazione dei livelli
energetici, per un dato valore di n, viene "rimossa" dall'energia
magnetica aggiuntiva: Em= eBùmh/(2æ), a condizione che sia
presente il campo magnetico d'induzione B. Lo spin dell'elettrone (s)
comporta un momento magnetico doppio M'= Mù2s cioŠ anomalo. La spiegazione
pi— completa e convincente del fenomeno si deve a Dirac, che riuscŤ a dedurre
le equazioni relativistiche per il comportamento ondulatorio dell'elettrone;
ma la formula energetica finale fornisce gli stessi risultati. Ci• Š dovuto
al fatto che la quantizzazione intera del momento J Š corretta, ma nella
teoria di Dirac proviene dalla somma J+h/2 mentre Š semintero il valore
del momento angolare totale: J+sh. In altri termini, nell'equazione di
Dirac lo spin J= h/2 assume un valore doppio ai soli fini energetici e
pertanto resta invariata l'energia totale H= æcýù[1+Zýàý/(nr+nl')ý]^-1/2.
Senza addentrarci in tali equazioni, si pu• dare una descrizione intuitiva
per la anomalia di M pensando alla forza di Coriolis di un sistema rotante:
ma= 2mvê= 2(J/r)ý/(mr); questa ha un valore doppio rispetto
alla semplice accelerazione centrifuga nel caso di un corpo in moto con
velocit… v rispetto al sistema stesso. Introduciamo ora le relazioni di
indeterminazione, deducibili dalla stessa meccanica quantistica applicata
ai pacchetti d'onda: ëpùëq>h/2, ëHùët>
h/2 (Heisenberg 1927) ove per ëx s'intende qui l'errore quadratico.
In base a ci•, quando si determini p= J, momento coniugato alla coordinata
spaziale q= í, quest'ultima Š completamente indeterminata; cosŤ
pure gli intervalli di tempo, se fissiamo l'energia J/(2mrý). La
velocit… del corpo in moto raggiunge allora il suo valore limite v= rùdí/dt
=c (velocit… della luce). Ora, la determinazione di J ed E soddisf… proprio
a queste ipotesi: la carica dell'elettrone rotante nell'equazione di Dirac
Š presente in un termine cinematico aggiuntivo di energia magnetica che
proviene sostanzialmente da un doppio prodotto nello sviluppo quadratico
dell'energia relativistica. Raggiunge comunque, secondo la composizione
relativistica delle velocit…, il valore-limite:
l i m (c-v)/(1-v/c) = c (rispetto al resto
del sistema).
v-->c
~~~ BREIT (1928). La trattazione pi—
rigorosa dell'elettrone vincolato ad un nucleo di carica Ze comporta in
realt…, nello stato fondamentale, un momento magnetico calcolato da Breit:
M(Zà)= mù(1+2ùû[1-(Zà)ý])/3
che dipende dalle componenti (relativistiche) di J e dalla velocit… v=
Zàc. Si osservi che il numero delle dimensioni dello spazio coincide
con il valore
l i m { M(0) / M(Z) } = 3 .
Zà->0
~~~ NOTA. Il risultato precedente pu•
fornire una spiegazione di una sconcertante propriet… della fisica moderna.
Nella teoria dei quark (componenti degli stessi protoni, Gell-Mann 1961)
si Š costretti ad imporre a tali componenti della materia cariche elettriche
multiple di ñe/3. Ma, nonostante i calcoli che derivano dalla carica
frazionaria dei quark sono del tutto compatibili con le interazioni delle
particelle, non sembra realizzabile la loro decomposizione in quark. Ricordiamo
ora che la frazione m/3 del momento magnetico dell'elettrone ne rappresenta
solo una sua componente spaziale: nella stessa prospettiva occorre forse
interpretare anche la carica frazionaria dei quark. Possiamo concludere
con un grande insegnamento, gi… emerso dalle difficolt… emerse in seguito
alla teoria dell'atomo. I numeri quantici che forniscono le grandezze invarianti
fondamentali hanno significato solo relativamente a quel dato sistema di
coordinate canoniche in cui si misurano le grandezze associate (momenti
coniugati). Ci• comporta la necessit… che il modello matematico di un fenomeno
fisico venga fatto discendere dai principi fondamentali che coerentemente
lo delimitano, cosŤ come avviene nella meccanica analitica da cui ebbe
inizio il cammino della fisica moderna. Giovanni Imbalzano.
2] L.D.Landau e E.M.Lifshic, Meccanica,
Torino 1965 Boringhieri;
3] E.Persico, Fondamenti della Meccanica
atomica, Bologna 1939 Zanichelli;
4] M.Born, Fisica atomica, Torino 1968
Boringhieri;
5] G.Herzberg, Spettri atomici e struttura
atomica, Torino 1961 Boringhieri.