Richiami sui sistemi lineari tempo-invarianti e la trasformata di Fourier

Introduzione: Sviluppo di Fourier e trasformata di Fourier
Sistemi lineari e risposta all’impulso
Sviluppo in serie di Fourier
    Dimostrazione della formula dei coefficienti dello sviluppo di Fourier per x(t) reale
Trasformata di Fourier
    Spettri bilateri e spettri unilateri. Rappresentazione mediante vettori rotanti
 

Capitolo 1 - Campionamento

Parte I

Introduzione. Definizione di campionamento. Segnale campionato. Teorema del campionamento.
Formula di ricostruzione. Errore di aliasing. Cenni al progetto del filtro analogico anti-aliasing.
Esempio di campionamento ideale.
Campionamento di una sinusoide. Campionamento di un segnale generico.
Filtri di ricostruzione.
    Caso particolare: funzione PLOT del Matlab
Traslazione nel tempo del pettine di campionamento.
Possibilità di sottocampionamento ed applicazioni.
Osservazione: possibilità di non usare il campionatore
Effetti della non-idealità del campionatore

Parte II

Campionamento di un segnale passa-banda
    Introduzione. Schema della conversione di frequenza. Campionamento diretto. Componenti analogiche in bassa frequenza
Conversione digitale-analogica
    Introduzione. Sovracampionamento in forma numerica. Concetti generali sugli interpolatori.
    Interpolatore di ordine 0 (mantenitore). Interpolatore lineare (o di ordine 1). Filtro di ricostruzione perfetto.
Campionamento irregolare 29
 
 

Capitolo 2 - DFT

Parte I - Definizione e proprietà

DTFT (Discrete Time Fourier Transform).
DFT (Discrete Fourier Transform)
    Introduzione. Formule di trasformazione e antitrasformazione. Verifica della formula di antitrasformazione.
    Simbologia adottata. Esempio. Esempio: metodo dello “zero padding”. Numero di campioni nel tempo ed in frequenza.
    Relazione tra la DFT e altre trasformate. Relazione con la serie di Fourier di una sequenza periodica
    Relazione con la trasformata di Fourier di una sequenza aperiodica. Relazione con la serie di Fourier di un segnale tempo-continuo.
    Principali proprietà della DFT
    Linearità. Traslazione nel tempo. Traslazione in frequenza. Simmetria circolare di una sequenza. Simmetria hilbertiana.

Parte II - DFT e convoluzione

DFT e convoluzione nel dominio del tempo
    Introduzione. Richiami sulla convoluzione tra due sequenze numeriche. Esempio.
    Convoluzione circolare ottenuta tramite la DFT. Esempio di convoluzione circolare calcolata direttamente.
    Esempio di convoluzione circolare calcolata tramite DFT. Calcolo della convoluzione lineare tramite la DFT.
    Tecnica di Overlap and Save per la convoluzione lineare
        Implementazione tramite DFT
    Tecnica di Overlap and Add per la convoluzione lineare
        Implementazione tramite la DFT

Parte III - FFT

Fast Fourier Transform
    Introduzione. FFT con decimazione nel tempo. Costo dell’algoritmo. FFT con decimazione nelle frequenze.
    Considerazioni varie sulla FFT con decimazione. Osservazione: FFT con decimazione nei tempi per una sequenza x(n) reale
    Osservazione: algoritmi di decimazioni per sequenze di lunghezza qualsiasi.

Parte IV - Applicazioni ed esempi concreti sulla DFT

Varie sulla DFT
    DFT e ritardatore temporale
    DFT ed effetti della finestratura temporale delle sequenze
    DFT e campionamento di sinusoidi
    Numero di campioni nel tempo ed in frequenza
    Sovracampionamento di un fattore intero
        Introduzione. Inserzione di zeri nel tempo e repliche spettrali. Soppressione delle repliche spettrali con filtraggio ideale
        Esempi vari
    Interpretazione della DFT come un filtraggio lineare
        Introduzione. DFT come banco di filtri.
 

Capitolo 3 - Trasformata zeta e sistemi tempo-discreti

Parte I - Trasformata zeta

Introduzione. Definizione di trasformata zeta. Esempi vari. Regione di convergenza.
Proprietà della trasformata zeta: Linearità, Traslazione nel tempo, Proprietà di scala nel dominio trasformato,
Inversione nel tempo, Derivazione nel dominio trasformato, Convoluzione nel tempo.
Esempi vari. Osservazione: calcolo efficiente di una convoluzione. Trasformata zeta razionale.
Rappresentazione tridimensionale della trasformata zeta 17
Relazione tra i poli della trasformata Z e durata nel tempo
Sistemi lineari tempo-invarianti e trasformata zeta
Trasformata Z inversa
Legami tra trasformata Z e trasformata di Fourier discreta
Stabilità BIBO
 

Parte II - Trasformata zeta e sistemi tempo-discreti

Sistema a singolo polo. Sequenze di due campioni. Sequenze simmetriche di tre campioni.
Filtri numerici a fase rigorosamente lineare. Esempi vari. Implementazione. Esempio del Compact Disk.
Filtri implementati come cascata di filtri elementari.
Convoluzione di sequenze a fase minima ed a fase massima. Sequenze elementari e coppie di zeri complessi coniugati.
Filtro NOTCH.
Implementazione di filtri numerici FIR a fase lineare.
Corrispondenze poli-zeri tra filtri IIR e filtri FIR. Effetto dei poli in un filtro numerico.
Implementazione dei poli e degli zeri in un filtro numerico.
 

Capitolo 4 - Progetto di filtri FIR

Parte I - Concetti generali sul progetto di filtri FIR - Metodo delle finestre

Introduzione al progetto di filtri FIR. Caratteristiche dei filtri selettivi reali.
Metodo delle finestre.
    Descrizione teorica. Dettagli analitici. Uso di particolari finestre. Conclusioni sul metodo delle finestre. Esempio
 

Parte II - Metodo del campionamento in frequenza

Introduzione. Dettagli analitici. Procedure di ottimizzazione. Algoritmo di Remez. Procedura di Parks e McClellan.
Procedura Remez di MATLAB.
Conclusioni sui metodi di progetto di filtri FIR.
 

Capitolo 5 - Progetto di filtri IIR

Parte I - Concetti generali sul progetto di filtri IIR

Introduzione: filtri numerici e filtri analogici. Realizzazione in forma diretta dei filtri IIR.
Progetto di filtri IIR tramite approssimazione di derivate. Esempio. Problemi con l’approssimazione delle derivate.
Trasformazione bilineare.
    Introduzione. Dettagli analitici. Caratteristiche della trasformazione bilineare. Esempi vari.
    Considerazioni generali sul progetto tramite trasformazione bilineare. Problemi legati alla precisione di calcolo dei coefficienti

Utilizzo delle “strutture analogiche a scala”.
Filtri ad onda numerica (Wave Digital Filters).
    Generalità. Dispositivi adattatori. Progetto dell’adattatore tipo serie e di tipo parallelo. Realizzazione del filtro.
    Pregi e difetti dei filtri ad onda numerica
 

Parte II - Strutture riverberanti

Introduzione alle strutture riverberanti. I sistemi numerici derivanti. Cascata di tronchi di linea.
Il filtro a traliccio ricorsivo. Osservazioni varie
 

Appendice sui filtri numerici

Concetti generali sui filtri numerici. Caratteristiche dei filtri ideali. Filtri passa-basso. Filtri passa-alto. Filtri passa-banda.
Semplice trasformazione da filtro passa-basso a filtro passa-alto. Risonatori digitali. Filtri Notch.
Filtri a fase minima, a fase massima ed a fase mista
 

Capitolo 6 - Analisi spettrale

Parte I - Analisi spettrale non parametrica

Introduzione. Valutazione della densità spettrale di energia. Stima della densità spettrale di potenza per segnali aleatori tempo-continui. Uso del banco di filtri. Risoluzione in frequenza del sistema di misura. Dispersione della stima spettrale.
Richiami di statistica. Stima della potenza di segnali correlati gaussiani.
Metodo del periodogramma.
    Generalità. Implementazione del periodogramma tramite la DFT. Osservazioni. Esempi
    Metodo del periodogramma, DFT e banco di filtri. Allungamento della finestra di osservazione.
    Polarizzazione della stima spettrale. Modifica del periodogramma. Media di periodogrammi di sottosequenze: metodo di Bartlett. Metodo WOSA (finestre a coseno rialzato sovrapposte).
    Smussamento dello spettro: metodo di Blackman-Tukey
Riepilogo e conclusioni sull'analisi spettrale non parametrica
 

Parte II - Analisi spettrale parametrica

Introduzione. Metodi a superisoluzione. Modelli per la densità spettrale di energia.
Relazione tra i parametri del filtro e la sequenza di autocorrelazione.
Modello MA. Modello AR. Modello ARMA.
 

Capitolo 7 - Predizione lineare

Introduzione. Errore medio di previsione. Predizione lineare come sbiancatore della sequenza di ingresso.
Ortogonalità tra dati ed errore. Valore minimo dell’errore quadratico medio.
Metodo recursivo di Levinson per la predizione lineare.
    Coefficienti del predittore di ordine N+1. Errore di predizione all’aumentare di N. Schema a blocchi della procedura ricorsiva. Interpretazione geometrica della ricorsione di Levinson.
Metodo di Pisarenko.
    Concetti generali. Applicazione della “predizione lineare”.
 

Capitolo 8 - Sistemi multirate

Parte I - Operazioni di decimazione e interpolazione digitale

Introduzione alla elaborazione multirate di segnali digitali. Concetti generali sulla conversione di frequenza di campionamento.
Decimazione di un fattore intero D. Osservazione: necessità del filtraggio anti-aliasing. Esempio con Matlab.
Interpolazione di un fattore intero I. Esempio con Matlab.
Conversione di frequenza di campionamento di un fattore I/D.
Implementazione multistadio per la conversione di frequenza di campionamento
 

Parte II - Applicazioni di sistemi multirate

Suddivisione di un segnale in sottobande
    Introduzione. Suddivisione in M sottobande. Tecnica dei filtri MIRROR per una suddivisione in 2 sottobande.
    Osservazione: iterazione della struttura per M sottobande. Osservazione: suddivisione del segnale in bande di ampiezza crescente. Cenni alla codifica a sottobande del segnale vocale.
Blocco filtro/sottocampionatore e sua invertibilità.
Applicazioni dell’elaborazione multirate dei segnali.
    Progetto di traslatori temporali
 

Capitolo 9 - Strutture polifase

Introduzione. Implementazione dei filtri FIR
Concetti generali sulle strutture polifase.Struttura polifase per un decimatore. Struttura polifase per un interpolatore.
Struttura polifase per la scomposizione in sottobande. Implementazione tramite la DFT.
 

Capitolo 10 - Segnale Telefonico

Parte I - Codifica PCM e sue varianti

Codifica PCM
    Introduzione: lo standard PCM. Curve di compressione per il quantizzatore. Osservazione sul rumore termico in ricezione.
    Cenni alle linee ISDN. Cenni alla generazione del segnale vocale.
Tecniche a riduzione di ridondanza.
    Introduzione. Tecnica DPCM. Codifiche predittive.Guadagno di predizione. Quantizzazione nella codifica DPCM.
    Modulazione delta. Modulazione delta adattativo (ADPCM). Tecniche DPCM con quantizzazione a più bit.
Riepilogo sulle tecniche PCM. Tecniche DPCM con predizione lineare di ordine maggiore di 1.
Complementi sulla codifica DPCM.
    Analisi degli errori di quantizzazione. Convertitori A/D a sovracampionamento. Codifica differenziale e modulazione delta.
    Modulazione sigma-delta.
 

Parte II - Tecniche di Source Coding

Codifica VOCODER
    Introduzione alle tecniche di Source Coding. Tecnica Vocoder. Cenni ai metodi di misura del pitch. Considerazioni generali sul Vocoder.
Codifica LPC: concetti generali.
Concetti generali sulle tecniche di Hybrid Coding
Tecniche di sub-band coding
 

Capitolo 11 - Sistemi bidimensionali

Parte I - Introduzione ai sistemi 2D

Introduzione. Singolarità per i sistemi a due dimensioni. Descrizione dei sistemi lineari in 2D. Filtri bidimensionali.
   Funzioni cilindriche. Autofunzioni per un sistema 2D lineare spazio-invariante. “Forma” delle sinusoidi in 2D.
Trasformazione di Fourier in 2D. Trasformata di Fourier 2D in coordinate polari. Formula di antitrasformazione in coordinate cartesiane e polari. Proprietà della trasformata di Fourier. Proprietà di rotazione nel dominio (x,y). Trasformata di una funzione separabile. Trasformata di funzioni a simmetria circolare. Trasformata della proiezione di una funzione.
Esempi di trasformate bidimensionali 22

Parte II - Campionamento 2D

Campionamento in 2D
    Introduzione. Campionamento rettangolare. Problemi del campionamento rettangolare. Dominio non ambiguo di forma esagonale. Cenni alla trasformata di Fourier discreta in 2D. Simmetrie nella DFT a 2D.
Tomografia
 

Capitolo 12 - Codifica televisiva

Richiami sulla “televisione”. Segnale TV in bianco e nero. Parametri principali del sistema europeo PAL. Cenni sulla televisione a colori. Esempio: trasmissione analogica del segnale TV su cavo. Esempio numerico: trasmissione numerica del segnale TV a colori
Codifica del segnale TV
    Introduzione. Codifica predittiva per il segnale TV. Progetto del quantizzatore. Osservazione: risparmio di bit sulle zone uniformi di colore.
    Tecniche di codifica a trasformata. Trasformata Coseno.
    Materiale vario (da Internet)
    Cenni alle codifiche “inter frame”