Intersezione di rette ellittiche
Le immagini seguenti sono interattive: potete trascinare col mouse i punti A e B o le rette (euclidee o ellittiche).
Qui ci troviamo di fronte a una delle tante, sorprendenti, potenzialità di Cinderella. L'immagine a sinistra mostra il piano ellittico, quella a destra la vista euclidea del piano ellittico.
Nel piano ellittico vediamo due rette a e b: si intersecano nel punto C. Possiamo agire sulla retta a muovendo il punto A oppure trascinando la circonferenza (trascinando la circonferenza otteniamo ogni retta del fascio per A). Analogamente per la retta b. Non è difficile convincersi che le due rette ellittiche si intersecano sempre in uno e in un sol punto (infatti due circonferenze massime si intersecano sempre in due punti euclidei antipodali, ma, non dimenticate, punti antipodali vengono identificati nel nostro modello di geometria ellittica). Nel piano ellittico, allora, non esistono rette parallele.
Nella vista euclidea del piano ellittico (figura a destra) vediamo la corrispondente situazione euclidea: vediamo anche qui le due rette a e b e il loro punto di intersezione C. Se però ruotiamo, nel piano euclideo, la retta a in modo che diventi parallela a b (basta trascinare la retta in modo che ruoti attorno al punto A), il punto C di intersezione non esiste più. Cosa succede invece nel piano ellittico? Le due rette continuano a intersecarsi e il punto C viene ora a trovarsi sulla circonferenza limite (quella azzurra). Provate ad arrivare gradualmente alla situazione di parallelismo (nel piano euclideo) e osservate la situazione corrispondente nel piano ellittico: vedrete che il punto C si avvicina gradualmente alla circonferenza limite. Cosa possiamo concludere? I punti ellittici della circonferenza limite rappresentano i punti all'infinito (punti impropri) del piano euclideo. Torneremo su questa importante questione quando ci occuperemo delle relazioni tra piano ellittico e piano proiettivo.
Esperimento 1 Operando nel piano euclideo realizzate altre situazioni di parallelismo delle rette a e b (cambiando direzione più volte). Cosa osservate? Cosa si può dire della situazione ellittica? Cosa si può concludere? (Fate i vostri esperimenti prima di leggere oltre).
Il punto di intersezione C si colloca sempre, nel piano ellittico, sulla circonferenza limite (azzurra). Cambiando direzione delle rette che nel piano euclideo sono parallele vedrete che il punto C ruota lungo la circonferenza limite. Per ogni direzione euclidea esiste un punto C sulla circonferenza limite. Utilizzando il linguaggio della geometria proiettiva: la circonferenza limite (che è una retta ellittica) rappresenta la retta impropria.
Esperimento 2 Operando nel piano euclideo trascinate il punto A; vedrete che la retta a si muove parallelamente a se stessa (state cioè traslando la retta a). Cosa succede nel piano ellittico? Sapete spiegarlo? (Fate i vostri esperimenti prima di leggere oltre).
La corrispondente retta ellittica ruota attorno a un punto (ellittico) che si trova sulla circonferenza limite. Tale punto rappresenta il punto all'infinito (punto improprio) comune a un fascio di rette parallele nel piano euclideo. Se non siete convinti studiate le figure seguenti: in quella a sinistra avete delle rette ellittiche che passano per lo stesso punto sulla circonferenza limite, in quella a destra vedete la corrispondente situazione euclidea. Potete trascinare la retta rossa o i punti A, B, C.
Se vi chiedete come Cinderella realizzi la vista euclidea del piano ellittico osservate la figura seguente.
Si considera una sfera tangente a un piano p. Le rette passanti per il centro O della sfera individuano una coppia di punti euclidei antipodali sulla superficie della sfera, cioè un punto ellittico, e individuano un punto corrispondente nel piano p. Ad esempio al punto ellittico A corrisponde nella vista euclidea il punto euclideo A'. Fate però attenzione, la corrispondenza tra punti ellittici e punti euclidei non è biunivoca: tutte le rette per O parallele al piano p non individuano un punto euclideo. I punti ellittici che non hanno un corrispondente euclideo sono quelli, nel modello di Cinderella, che si trovano sulla circonferenza limite azzurra (e corrispondono ai punti impropri se si considera un ampliamento proiettivo del piano euclideo). E' chiaro inoltre che ai punti di una circonferenza massima corrispondono nel piano i punti di una retta (lo vedete in figura); l'unica eccezione è la circonferenza massima parallela al piano p che non ha alcuna immagine.