I ragazzi che volessero comunicare con gli autori per porre domande e chiedere chiarimenti possono farlo utilizzando l'indirizzo p.lazzarini@tin.it Le domande con la relativa risposta degli autori, se di interesse comune, potranno essere messe in linea. Non sono fornite indicazioni per la soluzione degli esercizi.

[Spry]   Mi è venuto un grosso dubbio che non riesco a risolvere, spero che Lei mi voglia aiutare. Ho sempre dato per scontato che l'area del quadrato è: lato*lato. Mi sono chiesto la motivazione di tale affermazione e non ne sono venuto a capo. Ho pensato che facendo il prodotto lato*lato, avrei un multiplo del quadrato di lato 1, la cui area è 1*1=1. Però mi sono chiesto perché l'area del quadrato di lato 1 è pari a 1. E' forse un postulato? Allo stesso modo perché il volume del cubo di lato 1, è pari a 1? Se la mia strada è sbagliata, mi spiega perché devo fare il prodotto lato*lato per avere l'area?

   Per misurare qualcosa devi assumere una unità di misura. Nel caso delle lunghezze potrebbe essere il cm (cioè un segmento lungo 1 cm), per le aree il cm quadrato (cioè un quadrato di lato 1 cm), per i volumi il cm cubo (cioè un cubo di spigolo un centimetro). Allora, per definizione, l’area di un quadrato di lato 1 cm è 1 cm quadrato. Se il lato del quadrato è di 3 cm, la sua area è 3*3 = 9 cm quadrati (cioè lato*lato) perché tale quadrato può essere scomposto esattamente in 9 quadrati di area unitaria (fai il disegno). Porsi delle domande è sempre un buon segno.

[Ancora Spry]   Scusi la mia testardaggine. Nella sua risposta Lei dice: "per definizione, l’area di un quadrato di lato 1 cm è 1 cm quadrato". Proprio questo è il punto. Perché è 1 cm quadrato e non due o tre cm quadrati? Non mi dica che l'area è 1*1=1 cm quadrati, altrimenti io le chiedo perché l'area del quadrato è uguale a lato*lato. Lei dice:"per definizione ...", è quindi un postulato? Mi scusi ancora. Spero di potermi chiarire le idee.

   In una trattazione formale della geometria, dove sia stata definita assiomaticamente la distanza tra due punti del piano (e quindi la lunghezza di un segmento) si può assumere come postulato che l’area di un quadrato di lato lungo 1 sia uguale a 1. Ciò equivale, sul piano logico, all’assunzione di una unità di misura (che è una questione operativa). Assumere un quadrato Q come unità di misura (ad esempio un quadrato di lato 1 cm) significa che misurerò l’area di una figura andando a contare “quante volte” il quadrato Q “sta dentro” quella figura. Ne segue, banalmente, che l’area di Q stesso è 1 (perché Q sta esattamente una volta in Q). Ora è chiaro perché l’area di Q non può essere 2 o 3? Sarà 3 l’area di un rettangolo composto da tre quadrati Q. C’è da dire che quel “quante volte” andrebbe precisato perché esprime un numero non necessariamente intero (ma razionale o irrazionale) e qui si celano delle profonde difficoltà concettuali; non sono però le difficoltà che tu hai manifestato. Secondo me devi riflettere sul concetto di unità di misura: la scelta di una unità di misura è un atto arbitrario, una convenzione (sul piano logico un postulato). Ma una volta definita una unità di misura devo accettare tutte le conseguenze logiche di questa scelta. Ragiona sulle figure qui a fianco. Se assumo Q come unità di misura delle aree (e quindi implicitamente assumo il lato di Q come unità di misura per le lunghezze) allora il lato del quadrato A è lungo 3 e l’area è 9 = 3*3. Se assumo Q’ come unità di misura allora il lato di A è lungo 3/2 e l’area è 9/4 = (3/2)(3/2).